Cramer राज्य आणि त्याचे अर्ज

Cramer च्या नियम - सोडवणे अचूक पद्धती आहे रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे (निराशा) प्रणालींकरीता. त्याची अचूकता प्रणाली मॅट्रिक्स determinants वापर मुळे, तसेच प्रमेय पुरावा लागू निर्बंध काही म्हणून.

गुणक राहण्याचे सह रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे एक प्रणाली, उदाहरणार्थ, आर एक अनेकत्व - कमाल X1 वास्तविक क्रमांक, x2, ..., XN सूत्रांचे एक संग्रह आहे

ai2 X1 + ai2 x2 + ... ऐन XN = सह दोनदा मी = 1, 2, ..., मीटर, (1)

जेथे aij, दोनदा - वास्तव संख्या. या सूत्रांचे प्रत्येक म्हणतात एकरेषीय समीकरण, कमाल गुणांक, दोनदा - - समीकरणे स्वतंत्र गुणक aij.

(1) उपाय n-मितीय वेक्टर उल्लेख नाम ° = (X1 °, x2 °, ... XN °), कमाल X1 प्रणाली मध्ये जे पर्याय येथे, x2, ..., XN प्रणाली मध्ये ओळी प्रत्येक उत्तम समीकरण होते .

प्रणाली रिकामी संच उपाय संच हा योगायोगच आहे तर, तो किमान एक उपाय आहे तर सुसंगत म्हणतात, आणि विसंगत आहे.

हे Cramer पद्धत वापरून रेषेचा समीकरण प्रणाली उपाय शोधण्यासाठी, मॅट्रिक्स प्रणाली चौरस असावी मुळात प्रणाली मध्ये कमाल आणि समीकरणे समान संख्या याचा अर्थ असा आहे की लक्षात करणे आवश्यक आहे.

त्यामुळे, Cramer पद्धत वापरण्यासाठी, आपण किमान माहित असणे आवश्यक आहे मॅट्रिक्स आहे काय रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे एक प्रणाली, आणि तो जारी आहे. आणि दुसरे म्हणजे, मॅट्रिक्स आणि मोजणी त्याच्या स्वत: च्या कौशल्य निर्णायक म्हणतात ते समजून घेणे.

आम्हाला आपण मालकी की हे ज्ञान गृहीत धरते द्या. छान! मग आपण फक्त Kramer पद्धत ठरवण्यासाठी सूत्रे लक्षात आहे. memorization खालील नोटेशन वापरा सुलभ करण्यासाठी रचला:

• Det - प्रणाली मॅट्रिक्स मुख्य निर्णायक;

• deti - ज्या घटक रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे उजव्या बाजू आहेत एक स्तंभ वेक्टर करण्यासाठी मॅट्रिक्स मी व्या स्तंभ बदलून प्रणाली प्राथमिक मॅट्रिक्स पासून प्राप्त मॅट्रिक्स आणि निर्णायक घटक आहे;

• n - प्रणाली मध्ये कमाल आणि समीकरणे संख्या.

मग Cramer राज्य मोजणी मी व्या घटक इलेव्हन (i = 1, .. n) एन-मितीय वेक्टर नाम लिहिले जाऊ शकते

xi = deti / Det, (2).

या प्रकरणात, शून्य ते काटेकोरपणे विविध Det.

प्रणाली उपाय अद्वितीयपणा संयुक्त शून्य प्रणाली मुख्य निर्णायक विषमता अट द्वारे प्रदान केले जाते. अन्यथा, (xi) बेरीज, वर्ग, तर काटेकोरपणे सकारात्मक, नंतर SLAE एक स्क्वेअर मॅट्रिक्स अव्यवहार्य आहे. या deti nonzero एक किमान विशिष्ट येऊ शकते.

उदाहरण 1. Cramer सूत्र वापरून त्रिमितीय LAU प्रणाली निराकरण करण्यासाठी.
2 X1 + x2 + X3 = 31 4,
5 X1 + x2 + X3 = 2 29,
3 X1 - x2 + X3 = 10.

निर्णय. मॅट्रिक्स मी व्या ओळीत आहे - आम्ही ओळ प्रणाली ओळ, जेथे आय मॅट्रिक्स लिहा.
A1 = (1 2 4), आपल्याला A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
स्तंभ मुक्त गुणक b = (31 ऑक्टोबर 29).

मुख्य प्रणाली निर्णायक Det आहे
Det = A11 A22 a33 + a12 a23 a31 + a31 A21 a32 - A13 A22 a31 - A11 a32 a23 - a33 A21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

A11 = बाईज 1, A21 = B2, a31 = B3 वापरून det1 क्रमांतरण गणना करायची आहे. नंतर
det1 = B1 A22 a33 + a12 a23 B3 + a31 B2 a32 - A13 A22 B3 - B1 a32 a23 - a33 B2 a12 = ... = -81.

तसेच, det2 पर्याय वापर a12 = बाईज 1, A22 = B2, a32 = B3 मोजणी करण्यासाठी, त्यानुसार, det3 गणना - A13 = बाईज 1, a23 = B2, a33 = B3.
135 - मग आपण त्या det2 = -108, आणि det3 = तपासू शकता.
सूत्रे मते Cramer शोधण्यासाठी X1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5.

उत्तर: x ° = (3,4,5).

हा नियम या प्रयोगाची विसंबून, Kramer सोडवणे रेषेचा समीकरण प्रणाली पद्धत अप्रत्यक्ष उदाहरणार्थ, एक घटक के मूल्य अवलंबून उपाय शक्य संख्या प्रणाली तपास करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

+ | | X + केंटकी + 4 | <= 0 एकच उपाय आहे - - y 4 KX | घटक के विषमता काय मूल्ये येथे निश्चित करण्यासाठी उदाहरण 2.

निर्णय.
ही असमानता विभाग कार्य व्याख्या करून, दोन्ही भाव एकाच वेळी शून्य असेल तर फक्त केली जाऊ शकते. त्यामुळे ही समस्या रेषेचा बीजगणितातील समीकरणे उपाय शोधत कमी आहे

KX - y = 4,
x + केंटकी = -4.

तो मुख्य निर्णायक घटक आहे तरच या प्रणाली उपाय
Det = k ^ {2} + 1 nonzero आहे. या अट घटक के सर्वांनी मूल्ये समाधानी आहे की स्पष्ट आहे.

उत्तर: घटक के सर्वांनी मूल्ये.

या प्रकारच्या उद्दिष्टे देखील क्षेत्रात अनेक व्यावहारिक अडचणी कमी केला जाऊ शकतो गणित, भौतिकशास्त्र किंवा रसायनशास्त्र.