विमान समीकरण: कसे करण्यासाठी? प्रकार विमान समीकरणे

विमान जागा विविध प्रकारे (एक बिंदू आणि सदिश असून, वेक्टर आणि दोन गुण तीन गुण, इ) मध्ये स्पष्टपणे नमूद केले जाऊ शकते. तो हे लक्षात घेऊन, विमान समीकरण विविध प्रकारचे असू शकतात आहे. तसेच काही परिस्थितीत विमान असू शकते समांतर, लंब, छेदन, इ या आणि या लेखात चर्चा होईल. आम्ही विमान आणि केवळ सामान्य समीकरण करण्यासाठी शिकाल.

समीकरण सामान्य फॉर्म

समजा आर जागा _3, आहे जे एक आयताकृती समन्वय प्रणाली XYZ आहे. आम्ही एक सदिश α, वेक्टर α शेवटी माध्यमातून सुरवात ओ पासून प्रकाशीत केले जाईल जे तो लंब आहे विमान पी काढणे व्याख्या.

एक अनियंत्रित बिंदू प्रश्न = (x, y, z) येथे पी दर्शवितो. बिंदू प्रश्न चिन्ह पत्र p त्रिज्या वेक्टर. वेक्टर लांबी α p = IαI आणि Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ) बरोबरी.

या सदिश एकक, वेक्टर α म्हणून दिशेने दिग्दर्शन केले आहे, जे. α, β आणि γ - अनुक्रमे z कोन वेक्टर आणि सकारात्मक दिशा दरम्यान तयार केलेल्या Ʋ जागा अक्ष x, y, आहेत. वेक्टर QεP Ʋ एक बिंदू प्रोजेक्शन p (पी, Ʋ) = पी (r≥0) समान आहे एक स्थिर आहे.

वरील समीकरण अर्थपूर्ण आहे तेव्हा p = 0. या प्रकरणात फक्त n विमान, मूळ हे आहे जे बिंदू O (α = 0), आणि सदिश एकक Ʋ, बिंदू ओ सुटका ओलांडेल, पी लंब असेल त्याच्या दिशेने, जे वेक्टर Ʋ निर्धारित याचा अर्थ असा की जरी साइन अप करण्यासाठी. मागील समीकरण आमच्या विमान पी आहे, वेक्टर स्वरूपात व्यक्त केली. पण त्याच्या समन्वय दृश्य आहे:

पी पेक्षा मोठे किंवा 0 आम्ही सामान्य स्वरूपात विमान समीकरण आढळले आहेत समान आहे.

सामान्य समीकरण

समन्वय मध्ये समीकरण शून्य समान नाही आहे की कोणत्याही संख्या गुणाकार, तर आम्ही फार विमान ठरवतो, हे समीकरण समतुल्य प्राप्त. खालील फॉर्म आहे:

येथे, अ, ब, क - शून्य वेगळे एकाच वेळी संख्या आहे. हे समीकरण विमान सामान्य फॉर्म समीकरण म्हणतात.

विमाने समीकरणे नाहीत. विशेष बाबी

समीकरण साधारणपणे अतिरिक्त अटी सुधारित केले जाऊ शकतात. त्यांना काही विचार करा.

गुणांक एक 0 आहे की हे असे सूचित करते असे गृहीत धरते की पूर्वनियोजित अक्ष बैल करण्यासाठी विमान समांतर. या प्रकरणात, समीकरण स्वरूपात बदलते: वू + CZ + D = 0.

तसेच, समीकरण स्वरूपात आणि खालील अटी बदल होईल:

• पहिल्याने, तर ब = 0, axis Oy करण्यासाठी parallelism सूचित होईल जे अॅक्स + CZ + D = 0 ला समीकरण बदल.
• दुसरे म्हणजे, तर क = 0, समीकरण अॅक्स + करून + D = 0 मध्ये बदललेले आहे, की पूर्वनियोजित अक्ष ऑस्ट्रेलियातील समांतर काय म्हणायचे आहे.
• तृतीय, तर डी = 0, समीकरण अॅक्स + करून + CZ = 0, जे विमान O (मूळ) छेदते याचा अर्थ असा होईल म्हणून दिसेल.
• चौथे, तर ए = ब = 0, oxy parallelism सिद्ध होईल जे CZ + D = 0 ला समीकरण बदल.
• पाचवा, तर ब = क = 0, समीकरण अॅक्स + D = 0, जे विमान Oyz समांतर आहे याचा अर्थ असा की होते.
• सहावी गोष्ट म्हणजे, ए = क = 0, समीकरण फॉर्म वू + D = 0, घेते असेल तर अर्थात, parallelism Oxz अहवाल देऊ.

विभागांना मध्ये समीकरण फॉर्म

बाबतीत जेथे संख्या अ, ब, क, ड शून्य वेगळे, समीकरण स्वरूपात (0) खालीलप्रमाणे असू शकते:

X / एक + y / b + z / क = 1,

ज्यात एक = -d / अ, ब = -d / B, C = -d / सी

आम्ही तुकडे विमान परिणाम समीकरण म्हणून प्राप्त. (0, ब, 0), व ऑस्ट्रेलियातील - - (0,0, s) हे या विमानात समन्वय (एक, 0,0), Oy सह वेळी क्ष अक्ष कापणे होईल की नोंद करावी.

दिले समीकरण X / एक + y / b + z / क = 1, तो पूर्वनिश्चित समन्वय प्रणाली प्लेसमेंट विमान नातेवाईक दृश्यमान नाही कठीण आहे.

सामान्य वेक्टर समन्वय

विमान पी सामान्य वेक्टर n विमान सामान्य समीकरण, म्हणजे n (अ, ब, क) गुणक आहेत समन्वय आहे.

सामान्य n समन्वय निश्चित करण्यासाठी, तो विमान दिले सर्वसाधारण समीकरण माहित पुरेसे आहे.

आहे विभागांना मध्ये समीकरण, वापरताना फॉर्म X / एक + y / b + z / क = 1, सर्वसाधारण समीकरण वापरताना लिहिले कोणत्याही सामान्य वेक्टर समन्वय केले जाऊ शकते म्हणून दिलेल्या विमान: (1 / एक + 1 / b + 1 / क).

विविध समस्या सोडवण्यासाठी मदत सामान्य वेक्टर की नोंद करावी. सर्वात सामान्य समस्या पुरावा लंब किंवा समांतर विमाने मध्ये, विमाने किंवा विमाने आणि सरळ रेषा दरम्यान कोन दरम्यान कोन शोधण्याचे कार्य होणारी आहेत.

बिंदू सामान्य वेक्टर विमान समीकरण आणि समन्वय त्यानुसार टाइप करा

एक nonzero वेक्टर n दिलेल्या विमान लंब, म्हणतात सामान्य (नॉर्मल) पूर्वनिश्चित विमान.

समजा समन्वय जागेत (एक आयताकृती प्रणाली समन्वय) सेट Oxyz:

• संबंधित Mₒ बिंदू (hₒ, uₒ, zₒ);
• शून्य सदिश n = एक * मी ब * j + C * के +.

आपण सामान्य n लंब Mₒ बिंदू जाते की विमान समीकरण करणे आवश्यक आहे.

जागा आम्ही कोणत्याही अनियंत्रित बिंदू निवडा आणि एम (x, y, z) दर्शवितो. प्रत्येक बिंदू एम (x, y, z) त्रिज्या वेक्टर द्या असेल आर = x * मी + y * j + z * के, आणि एक बिंदू Mₒ त्रिज्या वेक्टर (uₒ hₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * मी uₒ + * j + zₒ * वा. वेक्टर MₒM वेक्टर n लंब असेल तर बिंदू एम, दिलेल्या विमान राहतील. आम्ही scalar उत्पादन वापरून orthogonality स्थिती लिहा:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ असल्याने, विमान वेक्टर समीकरण दिसेल:

[आर - rₒ, n] = 0.

हे समीकरण दुसर्या आकार असू शकतात. या कारणासाठी, scalar उत्पादन गुणधर्म आणि समीकरण डाव्या बाजूला रूपांतर. [आर - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. तर [rₒ, n] च्या म्हणून घोषीत, आम्ही खालील समीकरण प्राप्त: [r, n] - एक = 0 किंवा [r, n] = s, जे विमान संबंधित दिले गुण त्रिज्या-vectors सामान्य वेक्टर वर प्रोजेक्शन सातत्य व्यक्त करते.

आता आपण समन्वय प्रकार रेकॉर्डिंग विमान आमच्या वेक्टर समीकरण मिळवू शकता [r - rₒ, n] = 0 असल्याने आर-rₒ = (क्ष-hₒ) * मी + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * के, आणि n = एक * मी ब * j + C * के +, आम्ही:

आम्ही समीकरण सामान्य n लंब बिंदू जाणार्यांसाठी विमान तयार आहे की बाहेर करते:

एक * (x hₒ) + ब * (y uₒ) एस * (z-zₒ) = 0.

विमान समीकरण आणि वेक्टर विमान collinear दोन गुण समन्वय त्यानुसार टाइप करा

आम्ही दोन अनियंत्रित गुण एम '(x', y ', z') आणि एम "(x", y ", z"), तसेच वेक्टर (एक ', एक ", एक ‴) व्याख्या.

आता आम्ही लिहू शकता विद्यमान बिंदू एम 'आणि एम "मधून जाणारे समीकरण पूर्वनिश्चित विमान, आणि दिलेल्या वेक्टर करण्यासाठी समन्वय एम (x, y, z) समांतर प्रत्येक बिंदू.

या प्रकरणात, vectors M'M = {xx ', yy', ZZ '} आणि एम' एम = {क्ष "-x ', y' y '; z" -z'} वेक्टर सह coplanar पाहिजे एक = (एक ', एक ", एक ‴), याचा अर्थ आहे की, (M'M एम" एम, एक) = 0.

त्यामुळे जागा विमानात आमच्या समीकरण दिसेल:

विमान समीकरण प्रकार तीन गुण ओलांडणे

(X ', y', z ') (x,', y ', z') एकाच ओळीत जे संबंधित नाही, (x ‴ असावीत ‴, z ‴): आम्ही तीन गुण जमा आहेत असे म्हणू नये. हे विमान निर्दिष्ट तीन गुण माध्यमातून उत्तीर्ण समीकरण लिहू करणे आवश्यक आहे. भूमिती सिद्धांत विमान या प्रकारची अस्तित्वात नाही म्हणणं आहे ते केवळ एक आणि एकच. या विमानात बिंदू छेदते असल्याने (x ', y', z '), त्याच्या समीकरण फॉर्म होईल:

येथे, अ, ब, आणि क एकाच वेळी शून्य पासून भिन्न आहेत. तसेच दिले विमान आणखी दोन गुण छेदते (x ", y", z ") आणि (x ‴, y ‴, z ‴). या संबंधात परिस्थिती या प्रकारची चालते पाहिजे:

आता आम्ही एकसमान प्रणाली तयार करू शकता समीकरणे (linear) च्या कमाल नाम, v, w सह:

आमच्या बाबतीत X मध्ये, y किंवा z समीकरण (1) पूर्ण जे अनियंत्रित बिंदू आहे. (1) समीकरण आणि समीकरणे (2) आणि वरील आकृती सूचित समीकरणे (3) प्रणाली प्रणाली लक्षात घेता, वेक्टर पूर्ण एन (अ, ब, क) nontrivial आहे. कारण प्रणाली निर्णायक शून्य आहे हे आहे.

समीकरण (1) आम्ही जरुरी आहे की, या विमानात समीकरण आहे. 3 बिंदू ती खरोखर जातो, आणि तपासा करणे सोपे आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही पहिल्या रांगेत घटक निर्णायक विस्तृत करा. विद्यमान गुणधर्म निर्णायक आमच्या विमानात एकाच वेळी तीन मूलतः पूर्वनिश्चित बिंदू छेदणारे खालील (x ', y', z), (x "Y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). त्यामुळे आम्ही आपल्या समोर नियुक्त निर्णय घेतला.

विमाने दरम्यान Dihedral कोन

Dihedral कोन एक सरळ रेषा उद्भवूशकतो दोन अर्धा-विमाने स्थापना एक अवकाशीय भौमितिक आकार आहे. दुसऱ्या शब्दांत, अर्धा विमाने मर्यादित आहे जे जागा भाग.

समजा, आपल्याला खालील समीकरणे दोन विमान:

आम्हाला माहित आहे की वेक्टर एन = (अ, ब, क) आणि N¹ = (A¹, H¹, S¹) पूर्वनिश्चित विमाने त्यानुसार लंब आहेत. या संदर्भात, या विमाने दरम्यान स्थित आहे vectors नत्र व N¹ समान कोन (dihedral), दरम्यान φ कोन. scalar उत्पादन करून दिली आहे:

NN¹ = | एन || N¹ | cos φ,

तंतोतंत कारण

cosφ = NN¹ / | एन || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) इतका + (H¹) इतका + (S¹) इतका)).

हे 0≤φ≤π विचार करण्यासाठी पुरेसे आहे.

छेदणारे प्रत्यक्षात दोन विमाने, फॉर्म दोन कोन (dihedral): φ ₁ आणि φ _2. त्यांच्या सम π करण्यासाठी (φ ₁ + φ ₂ = π) समान आहे. त्यांच्या cosines म्हणून, त्यांच्या परिपूर्ण मूल्ये, समान आहेत, पण ते भिन्न चिन्हे आहेत, की cos φ ₁ = -cos φ _2. समीकरण (0) अनुक्रमे अ, ब आणि -A, -b सी आणि -C, समीकरण बदलले असेल, तर आम्ही प्राप्त, त्याच विमान, समीकरण cos φ मध्ये φ निश्चित करेल फक्त कोन = एन ¹ / | एन || एन ¹ | हे π-φ बदलविले जाईल.

लंब विमान समीकरण

विमान लंब म्हणतात, जे कोन 90 अंश आहे. वरील सादर सामग्री वापरणे, आम्ही इतर लंब विमानात समीकरण शोधू शकता. आम्ही दोन विमाने आहेत समजा: अॅक्स + करून + CZ + D = 0, आणि + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. आम्ही ते Orthogonal आहेत असे म्हणू शकतो की cos = 0 तर. याचा अर्थ असा की NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

एक समांतर विमान समीकरण

हे सामान्य नाही गुण असलेल्या दोन समांतर विमाने संदर्भित.

अट समांतर विमाने (त्यांच्या समीकरणे मागील परिच्छेद मध्ये समान आहेत) आहे की vectors नत्र व N¹ त्यांना लंब आहेत, collinear. हे खालील अटी proportionality भेटले आहेत याचा अर्थ असा की:

एक / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

प्रमाणात अटी विस्तार असाल तर - एक / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

याच डेटा विमान दर्शवते. याचा अर्थ असा की समीकरण अॅक्स + करून + CZ + D = 0 आणि + A¹h V¹u S¹z + D¹ = 0 एक विमान वर्णन.

विमान बिंदू अंतर

समजा, आपल्याला विमानात पी (0) दिले जाते, जे आहे. तो संबंधित बिंदू पासून अंतर शोधण्यासाठी आवश्यक आहे (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , आपण ते तयार करण्यासाठी विमान दुसरा सामान्य देखावा मध्ये समीकरण आणणे आवश्यक आहे:

(Ρ, v) p (r≥0) =.

या प्रकरणात, ρ (x, y, z) आमच्या बिंदू प्रश्न, n p वर स्थित त्रिज्या सदिश - एन, शून्य बिंदू पासून प्रसिद्ध झाले जे लंब लांबी आहे, v - सदिश एकक, एक दिशेने व्यवस्था आहे आहे.

एक बिंदू प्रश्न = (x, y, z) फरक ρ-ρº त्रिज्या सदिश असून, n राहण्याचे आणि ₀ = अशा वेक्टर, जे वर प्रश्न (hₒ, uₒ, zₒ) आहे प्रोजेक्शन निरपेक्ष मूल्य एक टप्प्यावर त्रिज्या वेक्टर v प्रश्न पासून शोधण्यासाठी आवश्यक आहे अंतर, d समान = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) पी करण्यासाठी:

डी = | (ρ-ρ ^0, v) |, पण

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = पी (ρ ^0, v).

त्यामुळे ते बाहेर वळते,

ड = | (ρ ^0, v) p |.

आता तो प्रश्न विमान पी ₀ ते अंतर d गणना स्पष्ट आहे की, तो सामान्य दृश्य विमान समीकरण आवश्यक आहे, पी डावीकडील शिफ्ट, आणि x, y च्या अंतिम स्थान z पर्याय (hₒ, uₒ, zₒ).

त्यामुळे आम्ही ड आवश्यक आहे परिणामी अभिव्यक्ती निरपेक्ष मूल्य शोधण्यासाठी.

भाषा मापदंड वापरून, आम्ही स्पष्ट करा:

ड = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

निर्दिष्ट बिंदू प्रश्न _0, नंतर वेक्टर दरम्यान मूळ विमान पी दुसऱ्या बाजूला आहे, तर ρ-ρ ⁰ व v आहे एक मंद कोन, अशा प्रकारे:

ड = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

बिंदू प्रश्न यू त्याच बाजूला स्थित मूळ संयोगाने _0, तीव्र कोन तयार केल्यावर बाबतीत, आहे की:

ड = (ρ-ρ ^0, v) p = - (ρ ^0, v)> 0.

परिणाम आहे माजी बाबतीत (ρ ^0, v)> p, दुसऱ्या (ρ ^0, v)

आणि त्याच्या स्पर्शरेषा विमान समीकरण

tangency Mº वेळी पृष्ठभागावर विमान यासंबंधी - पृष्ठभाग वर की चेंडू काढलेल्या वक्र शक्य ते सर्व स्पर्शरेषा असलेली विमानात.

समीकरण फॅ (x, y, z) = 0 स्पर्शरेषा विमान स्पर्शरेषा बिंदू Mº समीकरण मध्ये (uº hº, zº) होईल या पृष्ठभाग फॉर्म:

महिला _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _नाम (hº, uº, zº) (uº y) + F _नाम (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

पृष्ठभाग सेट केले असल्यास स्पष्टपणे z = f (x, y), नंतर स्पर्शरेषा विमान समीकरण वर्णन केले आहे:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + फ (hº, uº) (y uº).

दोन विमाने छेदनबिंदू

मध्ये तीन-मितींच्या पोकळीत एक समन्वय प्रणाली (आयताकृती) Oxyz, दोन विमाने पी आच्छादित आणि एकाचवेळी घडणे नाही 'आणि पी' दिले आहे. कोणत्याही विमान, सामान्य समीकरण वर्णनीय एक आयताकृती समन्वय प्रणाली आहे जे असल्याने, आम्ही n + ब x + y ' "= 0 आणि एक आणि एन समीकरणे A'x + V'u S'z + + D निश्चित केली आहेत" असे गृहीत धरते "z + D" सह = 0. या प्रकरणात आम्ही सामान्य एन '(अ', 'ब' ', C') विमान पी 'आणि सामान्य n "(अ", B ", C") विमान पी' केली आहे. आमच्या विमान समांतर नाहीत आणि एकाचवेळी घडणे नाही म्हणून, नंतर या vectors collinear नाही. एन '≠ n "↔ (अ', 'ब' ', C') ≠ (λ * आणि" λ * मध्ये ", λ * क"), λεR: गणित भाषा वापरणे, आम्ही ही परिस्थिती लिहिले जाऊ शकते आहे. जे छेदनबिंदू पी येथे lies सरळ रेषा "∩ पी आणि पी, या प्रकरणात एक = पी, पत्र घोषित केले जाईल" द्या.

आणि - एक ओळ गुण (सामान्य) विमाने पी 'आणि पी "एक अनेकत्व होणारी. ही रेखा हे एक राहण्याचे कोणत्याही टप्प्यावर समन्वय, एकाच वेळी समीकरण A'x + V'u S'z + + D '= 0 आणि एक "x + ब + क y," z + D "= 0 समाधान करणे आवश्यक आहे याचा अर्थ असा की. हा मुद्दा समन्वय खालील समीकरणे एक विशिष्ट समाधान होईल याचा अर्थ असा की:

परिणाम उपाय (एकूण) समीकरणे या प्रणाली ओळ छेदनबिंदू पी 'आणि पी "बिंदू म्हणून कार्य करेल बिंदू प्रत्येक समन्वय निश्चित करेल, आणि एक समन्वय प्रणाली Oxyz (आयताकृती) जागेत एक ओळ निश्चित आहे.