त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज. त्रिकोणाच्या कोनाच्या बेरजेचे प्रमेय

एक त्रिकोण तीन बाजूंनी बहुभुज आहे (तीन कोप) बर्याचदा, बाजूस उलट शिरोबिंदू दर्शविणारी कॅपिटल अक्षरांशी निगडीत लहान अक्षरे असतात. या लेखात, आम्ही या भौमितिक आकृत्यांचे प्रकार जाणून घेऊ, एक त्रिकोण त्या कोनाची बेरीज किती आहे हे निर्धारित करणारा एक प्रमेय.

कोन का प्रकार

तीन शिरोबिंदूंसह खालील प्रकारचे बहुभुज आहेत:

• कोपरा, सर्व कोप भक्कम;
• आयताकृती, एक उजवा कोन असावा, तर बाजूंना तयार करणा-या पावलांना पाय म्हटले जाते आणि बाजूच्या कोनाच्या समोर असलेल्या बाजूला कर्ण कर्ण म्हणतात;
• एक कोपरा मूर्ख आहे ;
• समद्विभुज, ज्यामध्ये दोन्ही बाजू समान आहेत, आणि त्यास बाजूच्या बाजू म्हणतात, आणि तिसरा त्रिकोणचा आधार आहे;
• समतोल, सर्व तीन समान भाग असणार्या

गुणधर्म

प्रत्येक प्रकारच्या त्रिकोणाच्या वैशिष्ट्यपूर्ण मूलभूत गुणधर्मांची वाटणी करा:

• मोठ्या बाजूंच्या समोर एक मोठा कोन नेहमी असतो, आणि उलट;
• समोरील बाजू समान कोन आहेत, आणि उलट;
• प्रत्येक त्रिकोणाच्या दोन उत्खीत कोन आहेत;
• बाहेरील कोन त्या समीप नसलेल्या कोणत्याही आंतरिक कोनापेक्षा मोठे आहे;
• कोणत्याही दोन कोनांची बेरीज नेहमी 180 अंशांपेक्षा कमी आहे;
• बाहेरील कोन उर्वरित दोन कोनांच्या बेरजेइतके आहे, जे त्यात व्यत्यय आणत नाहीत.

त्रिकोणाच्या कोनाच्या बेरजेचे प्रमेय

प्रमेय म्हणतो की जर आपण युक्लिडियन प्लेनवर स्थित असलेल्या भौगोलिक आकृतीच्या सर्व कोना जोडल्या तर त्यांचे बेरीज 180 अंश असेल. या प्रमेयाचा सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करूया.

चला CMN च्या शिरोबिंदूंवर एक त्रिकोण बनवा. शिरेच्या मध्यावरून आपण सरळ रेषा KN (सरळ रेषाला युक्लिडियन ओळी देखील म्हटले जाते) समांतर ओळ काढतो. त्यावर आपण बिंदू 'A' अशा प्रकारे चिन्हांकित करतो की, 'पॉइंट' के 'ए' आणि 'ए' सरळ रेषा एम.एन. आम्ही एएमएन आणि सीएनएम सारख्या कोनांचा परस्परांशी मिळवलेला आहे, जे आंतरिक विषयांप्रमाणे क्रॉसमध्ये असतात आणि सरळ रेषा केन आणि एमए बरोबर एक सेकंद एमएन तयार करतात, जे समांतर आहेत. हे असे होते की एम आणि एचच्या शिरोबिंदूतील त्रिकोणाच्या कोनाची बेरीज एमआरएच्या कोनाच्या आकारापेक्षा समान असते. सर्व तीन कोन एमआरए आणि एमकेएन च्या कोनांच्या समतुल्य असलेल्या बेरजेची रचना करतात. हे कोन एकीकडे असल्याने ते सर्वसाधारण सभेतील समांतर रेषा के.एन. आणि एमए बरोबर आहेत, त्यांची बेरीज 180 अंश आहे. प्रमेय सिद्ध आहे

परिणाम

वरील प्रमेय पासून, खालील उत्पन्नाचे अनुकरण केले आहे: प्रत्येक त्रिकोणाच्या दोन तीव्र कोन आहेत. हे सिद्ध करण्यासाठी, गृहीत धरा की दिलेल्या भौमितिक आकृत्यामध्ये फक्त एकच तीव्र कोन आहे. हे देखील असे गृहित धरले जाऊ शकते की कोपरांपैकी एकही तीक्ष्ण नाही. या बाबतीत, कमीतकमी दोन कोन असणे आवश्यक आहे, ज्याचे मूल्य 9 0 अंश पेक्षा जास्त किंवा जास्त असेल. पण नंतर कोनांची बेरीज 180 अंशांपेक्षा जास्त असेल. आणि हे होऊ शकत नाही, कारण प्रमेय नुसार त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180 ° आहे - आणखी नाही आणि कमी नाही. हे सिद्ध करणे आवश्यक होते.

बाह्य कोनाची मालमत्ता

बाह्य त्रिकोणाच्या कोनाची बेरीज किती आहे? या प्रश्नाचे उत्तर दोन पैकी एक पद्धत वापरून प्राप्त करणे शक्य आहे. पहिले म्हणजे कोन यांची बेरीज शोधणे आवश्यक आहे, जे प्रत्येकाच्या मध्यावर एक घेतले जाते, म्हणजेच तीन कोप. दुसरा म्हणजे सुचवा की आपण कोपर्यात सर्व सहा कोपांची बेरीज शोधणे आवश्यक आहे. प्रथम, आम्ही प्रथम पर्यायाने तो काढू. तर त्रिकोणाच्या सहा कोपर्यात दोन कोन आहेत. प्रत्येक जोडी समान कोन आहेत कारण ते अनुलंब आहेत:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6

याच्या व्यतिरीक्त, हे ज्ञात आहे की त्रिकोणाच्या बाह्य कोनात दोन आंतरिक विषयांची बेरीज आहे जी त्यात हस्तक्षेप करत नाहीत. त्यामुळे,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С

यातून असे दिसून येते की बाह्य कोनांची बेरीज, जी प्रत्येक शिर्षकाने घेतली जाते, ती समान असेल:

∟1+ ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟С + ∟А + ∟В + ∟ + + ∟С = 2 х (∟А + ∟ + + ∟С).

कोनांची बेरीज हे 180 डिग्री असून हे आपण समजू शकतो की ∟A + ∟B + ∟C = 180 ° आणि याचा अर्थ असा की ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180 ° = 360 ° जर दुसरा पर्याय लागू केला असेल तर, सहा कोपरांची बेरीज अनुक्रमे दोनदा मोठी होईल. म्हणजेच त्रिकोणाच्या बाह्य कोनांची बेरीज असावी:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °

आयताकार त्रिकोण

तीक्ष्ण असलेल्या उजव्या त्रिकोणाचे कोन किती आहे? या प्रश्नाचे उत्तर पुन्हा पुन्हा प्रमेय आहे, ज्याने असा दावा केला की त्रिकोणातील कोन 180 अंश आहे. आणि आपले विधान (गुणधर्म) या प्रमाणे दिसते: आयताकृती त्रिकोणाच्या सहाय्याने तीक्ष्ण कोन 90 अंश देतो. आपण त्याची सत्यता सिद्ध करूया. आपण CMN चे त्रिकोण द्या, ज्यासाठी ∟H = 90 ° हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे की ∟K + ∟M = 90 °

याप्रमाणे, कोन ∟ के + + एम + ∟ एच = 180 ° च्या बेरजेच्या मांडणीनुसार. आमच्या स्थितीमध्ये, असे म्हटले जाते की ∟H = 90 ° तर ते बाहेर येते, ∟K + ∟M + 90 ° = 180 ° म्हणजेच, ∟ के + ∟एम = 180 ° - 90 ° / 90 ° हेच आपण सिद्ध करावे.

उजव्या-त्रिकोणी त्रिकोणाच्या वर दिलेल्या सर्व वैशिष्ट्यांच्या व्यतिरिक्त, आपण खालील जोडू शकता:

• पाय विरुद्ध असणारी कोन तीक्ष्ण आहेत;
• कर्ण कर्ण कोणत्याही पाय पेक्षा त्रिकोणाकृती अधिक आहे;
• पाय चा बेरीज कर्णपेक्षा अधिक असतो;
• त्रिज्याचे कॅथेटर, जे 30 अंश कोनाच्या विरूध्द आहे, हे कर्णमधले अर्धे आकार आहे म्हणजेच ते अर्धे अर्धे आहे.

या भौमितिक आकृत्याची दुसरी संपत्ती असल्याने आपण पायथागोरसचा प्रमेय ओळखू शकतो. तिने असा दावा केला की त्रिज्यामध्ये 9 0 डिग्री (आयताकृती) असलेल्या कोनामध्ये पायांची वर्गांची बेरीज कर्णमधल्या वर्तुळाच्या चौरसाशी आहे.

समद्विभुज त्रिकोणाच्या कोनाचे बेरीज

पूर्वी आम्ही असे म्हटले आहे की समद्विभुज हा एक बहुभुज आहे, ज्यामध्ये तीन समीकरणे आहेत ज्या दोन समान बाजू आहेत. दिलेल्या भौमितिक आकृत्याची अशी अशी मालमत्ता ओळखली जाते: त्याच्या आधारावर कोन समान असतात. हे सिद्ध करूया.

त्रिकोण सीएमएन घ्या, जो समद्विभुज आहे, सीएन हे त्याचे मूळ आधार आहे. आपल्याला हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे की ∟ के = ∟ एच तर, आपण असे म्हणू की एमए हा आमच्या त्रिकोणी सीएमएनचा दुभाजक आहे समता पहिल्या चिन्हासह त्रिकोण एमकेए त्रिकोण एमएनए सारख्या आहे. म्हणजे, स्थितीनुसार, हे दिले जाते की मुख्यमंत्री = एनएम, एमए ही एक सामान्य बाजू आहे, ∟ 1 = ∟2, कारण एमए दोन बिस्क्टर आहे. या दोन त्रिकोणांच्या समानतेचा वापर करून आपण असे म्हणू शकतो की ∟ के = ∟ एच म्हणून प्रमेय सिद्ध आहे

परंतु आपल्याला एका त्रिकोणाची (समनुरूप) कोनाची बेरीज मिळावी अशी आमची इच्छा आहे. या संदर्भात त्याच्या स्वत: च्या एकवचनीपणा नसल्यामुळे, आम्ही पूर्वी विचार केलेल्या सिद्धांतापासून सुरुवात करतो. म्हणजेच, आपण असे म्हणू शकतो की ∟K + ∟M + ∟ एच = 180 °, किंवा 2 × ∟K + ∟M = 180 ° (∟K = ∟ एच पासून). आम्ही ही प्रॉपर्टी सिद्ध करू नये कारण त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेचा प्रमेय पूर्वी सिद्ध झाला होता.

त्रिकोणाचे कोन समजले जाणारे गुणधर्मांव्यतिरिक्त, महत्त्वाचे विवरण देखील येथे आहेत:

• समद्विभुज त्रिकोणामध्ये, पायावर कमी करण्यात आलेली उंची एकाचवेळी एक मध्यक अशी आहे, दोन्ही बाजूंच्या दरम्यान असलेल्या कोनाची द्विभाजक, तसेच त्याच्या पायाच्या सममितीचा अक्ष ;
• अशा भौमितिक आकृत्यांच्या बाजूकडे काढलेल्या औषधे (बिस्केट्रिक्स, हाइट्स) ही समान आहेत.

समभुज त्रिकोण

यालाच बरोबर म्हणतात, त्रिकोण आहे, ज्यामध्ये सर्व बाजू समान असतात. आणि म्हणून कोन समान आहेत. त्यातील प्रत्येकजण 60 अंश आहे. आपण ही मालमत्ता सिद्ध करूया.

समजा की आपल्याकडे CMN चा एक त्रिकोण आहे. आम्हाला माहित आहे की केएम = एचएम = केएच आणि याचा अर्थ असा की, समद्विभुज त्रिकोणाच्या पायथ्याशी असलेल्या कोनाचे गुणधर्मानुसार, ∟ के = ∟ एम = ∟ एच प्रमेय नुसार, त्रिकोणाचे कोन ∟ के + ∟ एम + ∟ एच = 180 °, नंतर 3 × ∟ के = 180 ° किंवा ∟ के = 60 °, ∟M = 60 °, ∟ एच = 60 ° चे आकडे अशाप्रकारे, असे प्रतिपादन सिद्ध झाले आहे. प्रमेय आधारावर वरील पुराव्यावरून बघता येते, समभुज त्रिकोणच्या कोनाची बेरीज , जसे की इतर त्रिकोणाचे कोन, हे 180 अंश आहे. या प्रमेयाचा पुन्हा सिद्ध करणे आवश्यक नाही.

समभुज त्रिकोणाचे गुणधर्म देखील येथे आहेत:

• मध्ययुगीन, दुभाजक, अशा भौमितीक आकृत्याची उंची एकाच वेळी असणे आणि त्यांची लांबी (ए एस √3) म्हणून गणना केली जाते: 2;
• जर आपण एखाद्या बहुभुजाच्या सभोवतालचे वर्तुळ वर्णन केले तर त्याचा त्रिज्या असेल (एक x √ 3): 3;
• जर आपण समभागाच्या त्रिकोणाचे एक मंडळ समाविष्ट केले तर त्याचे त्रिज्या (а х √3): 6;
• या भौमितिक आकृत्याचे क्षेत्र सूत्रानुसार मोजले जाते: (a2 x √3): 4.

कणक त्रिकोण

बद्धकोषाच्या त्रिकोणाची परिभाषा अनुसार , त्यातील एक कोन 90 ते 180 अंशांपर्यंत आहे. परंतु या भूमितीय आकृतीचे इतर दोन कोप तीक्ष्ण आहेत, असे आपण म्हणू शकतो की ते 9 0 डिग्री पेक्षा जास्त नाहीत. परिणामी, त्रिज्यीच्या कोनांच्या बेरजेचा विचार बद्धमक त्रिकोणातील कोनांची बेरीज काढताना काम करतो. वरील निष्कर्षांवर अवलंबून राहून आपण सुरक्षितपणे म्हणू शकतो, की बद्ध त्रिज्याच्या कोनांची बेरीज 180 अंश आहे. पुन्हा, या प्रमेयाचा पुनरुच्चार करण्याची आवश्यकता नाही.